Ο Κουρτ Γκέντελ (γερμανικά: Kurt Friedrich Gödel) είναι γνωστός για τη διατύπωση των δύο θεωρημάτων της μη-πληρότητας, και για την συνεισφορά του στην θεωρία των αποδείξεων – όπου ξεκαθάρισε τις σχέσεις μεταξύ κλασσικής, διαισθητικής και τροπικής λογικής – και επί του γενικότερου ήταν από τους τύπους που επηρέασαν φιλοσοφικά τον κλάδο των θετικών επιστημών.
Επίσης, φαίνεται να αποτελεί ένα από τα αγαπημένα αγόρια των θεϊστών, οι οποίοι αλαλάζουν πως απέδειξε μαθηματικά την ύπαρξη του θεού. Αυτή η απόδειξη του είναι γνωστή ως “Gödel’s ontological proof” και θα την κοιτάξουμε πιο κάτω, μιας και έχει ενδιαφέρον, άσχετα αν δεν μας τα λέει όπως θέλουν να μας τα πούνε οι θεϊστές.
Πάντως ο Gödel ήταν και ο ίδιος θεϊστής, γνώρισμα σχετικά σπάνιο για θετικάριο, αλλά διόλου περίεργο για τον Gödel, αν γνωρίζει κανείς πως μια από τις μεγαλύτερες φιλοσοφικές του επιρροές ήταν το έργο του Kant.
Τέλος πάντων, περί ιδεολογικών ανησυχιών του Gödel θα τα πούμε παρακάτω πιο αναλυτικά. Προς στιγμήν θα δούμε τα βιογραφικά του, τα οποία παρά το γκίκικο της ιδιοσυγκρασίας του έχουν αρκετό ζουμί.
Ο Kurt Friedrich Gödel γεννήθηκε στις 28 Απριλίου του 1906 στο Brunn της Αυστρουγγαρίας (το σημερινό Brno της Τσεχίας). Ήταν γερμανικής καταγωγής και, για καλή του τύχη, εκείνη την εποχή το Brunn είχε πλειονότητα γερμανόφωνων κατοίκων. Στα 12 του πήρε τσεχοσλοβάκικη υπηκοότητα, μιας και η αυστρο-ουγγρική αυτοκρατορία χτύπησε διάλυση μετά τον Ά Παγκόσμιο. Αυτό το σημειώνουμε επειδή, απ’ όσο φαίνεται, κατά την διάρκεια της ζωής του ο Gödel άλλαζε τις υπηκοότητες του σαν τα πουκάμισα, εσκεμμένα ή μη.
Από πολύ μικρή ηλικία είχε εκείνο το καταραμένο μικρόβιο της περιέργειας, που τον έκανε να ρωτάει συνέχεια για τα πάντα, με αποτέλεσμα η φαμίλια του να του κολλήσει το παρατσούκλι “Herr Warum” ή ελληνιστί “Κύριος Γιατί“. Ο μικρός μας Γιατής πήγε Δημοτικό σε λουθηρανό σχολείο του Brunn και στη συνέχεια στο Deutsches Staats-Realgymnasium. Από εκεί αποφοίτησε το 1924 με διάκριση στα μαθηματικά, στις ξένες γλώσσες και τα θρησκευτικά. Παρά το αρχικό του ενδιαφέρον για τις ξένες γλώσσες, τα μαθηματικά κέρδισαν τον έρωτά του όταν αυτός ήταν 14 ετών.
Άλλες εφηβικές αγάπες του ήταν η Θεωρία των Χρωμάτων του Goethe, τα κριτικά κείμενα του Νεύτωνα και τα γραπτά του Kant – εν ολίγοις, φαινόταν από νωρίς πού πάει το πράγμα με την πάρτη του.
Έτσι τελειώνοντας με το σχολειό πήγε στη Βιέννη να βρει τον μεγάλο του αδερφό, τον Rudolf που σπούδαζε ιατρική, ενώ ο ίδιος σκόπευε να στραφεί προς τη θεωρητική φυσική. Στη πορεία αποφάσισε πως δε του έκανε δαύτη και εξαιτίας διαφόρων διαβασμάτων και επιρροών από άλλους γκικάδες, αποφάσισε να το γυρίσει στη μαθηματική λογική.
Για τη διδακτορική του εργασία επέλεξε να δουλέψει για να απαντήσει το ερώτημα που έθεσαν οι David Hilbert και Wilhelm Ackermann στο Principles of Mathematical Logic, πάνω στο πρόβλημα της πληρότητας, το οποίο διατυπώθηκε ως εξής: “Είναι τα αξιώματα ενός τυπικού συστήματος αρκετά για να εξάγουν κάθε κατάσταση που είναι αληθής σε όλα τα μοντέλα του συστήματος;“.
Ολοκλήρωσε την εργασία του πάνω σε αυτό το ερώτημα το 1929, σε ηλικία 23 ετών και απότοκο αυτής αποτέλεσε το θεώρημα της πληρότητας του Gödel. Την ίδια χρονιά άλλαξε και την υπηκοότητα του σε αυστριακή. Τον επόμενο χρόνο κατάφερε να πάρει το ντοκτορά του και η εργασία του, συμπληρωμένη με επιπρόσθετα στοιχεία, δημοσιεύτηκε από την ακαδημία επιστημών της Βιέννης.
To 1931 βρίσκει τον Gödel στη Βιέννη να δημοσιεύει τα θεωρήματά του πάνω στη μη-πληρότητα. Με αυτά τα θεωρήματα έβαλε τέλος στο σπαζοκεφάλιασμα μισού αιώνα, που ξεκίνησε με τη δουλειά του Gottlob Frege και είχε σα σκοπό να βρει ένα σύνολο από αξιώματα που να είναι επαρκή για όλο το σύνολο των μαθηματικών.
Το αστείο είναι πως η βασική ιδέα του θεωρήματος της μη-πληρότητας είναι ιδιαιτέρως απλή. Ο Gödel απλά κατασκεύασε μια φόρμουλα η οποία δεν μπορεί να αποδειχτεί σε ένα τυπικό σύστημα. Αν είναι αποδείξιμη τότε είναι ψευδής, τσιτάκι που αντιτίθεται στη γενική ιδέα πως ότι αποδεικνύεται είναι πάντα αληθές. Για να κάνει πιο ακριβή αυτή του την απόδειξη χρησιμοποίησε μια διαδικασία την οποία εμείς εδώ γνωρίζουμε ως “γκεντελοποίηση” αλλά θα την βρεις ως “Gödel numbering” στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία. Ουσιαστικά, η γκεντελοποίηση αποτελεί μια κωδικοποίηση όπου ένας αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μαθηματικό σύμβολο, με αποτέλεσμα μια ακολουθία φυσικών αριθμών να μπορεί να παρουσιαστεί σαν μια ακολουθία συμβόλων. Περισσότερα για αυτό το τερτίπι εδώ.
Το 1933 έγινε λέκτορας στο πανεπιστήμιο της Βιέννης, χωρίς όμως να πληρώνεται (αυτή η θέση λέγεται Privatdozent στα γερμανικά). Επίσης, την περίοδο 1933-1935 άρχισε να κάνει ταξίδια στις Η.Π.Α. και να έχει πάρε-δώσε με τους εκεί ακαδημαϊκούς κύκλους, γνωρίζοντας μεταξύ άλλων και τον Einstein με τον οποίο έπιασαν γερές φιλίες.
Αλλά όσο ωραία ήταν όλη αυτή η φάση με τα ταξίδια και τις εκλεκτές γνωριμίες, τόσο χάλια ήταν η κατάσταση πίσω στα μέρη του. Ήδη από το 1933 το κόμμα του Αδόλφου είχε αρχίσει να αποκτάει δύναμη και μέσα στα επόμενα χρόνια οι διάφορες ναζιστικές ιδεολογίες άρχισαν να έχουν επιρροή στους ακαδημαϊκούς κύκλους της Βιέννης.
Κορύφωση αυτής της επιρροής για τον Gödel φαίνεται να ήταν η δολοφονία του συναδέλφου του, Moritz Schlick, από έναν φιλοναζιστή μαθητή του. Μετά από αυτό το περιστατικό ο δικός μας άρχισε να παθαίνει κρίσεις πανικού και να αναπτύσσει συμπτώματα παράνοιας, όπως τον φόβο πως θα τον δηλητηριάσουν. Για να την παλέψει πήγε και κλείστηκε σε ένα σανατόριο για μερικούς μήνες.
Το 1937 μπήκε και πάλι στον ακαδημαϊκό στίβο. Τον επόμενο χρόνο παντρεύτηκε την Adele Nimbursky, με την οποία γνωρίζονταν ήδη καμιά δεκαριά χρόνια. Η σχέση τους ξεσήκωσε πολλές αντιδράσεις από τη φαμίλια του Gödel, μιας και η Adele δεν ήταν το “καλό κορίτσι για σπίτι” που ήθελαν οι γονείς του, αλλά χορεύτρια, με έναν αποτυχημένο γάμο στο ενεργητικό της και έξι χρόνια μεγαλύτερη από τον γιόκα τους. Παρόλο το πριξαρχίδιασμα, βέβαια, η σχέση τους τα πήγε πολύ καλά και σε διάρκεια και σε ποιότητα.
Τον ίδιο χρόνο ο δικός μας έφυγε για Αμερική και όταν γύρισε την άνοιξη του 1939 στην Αυστρία τα πράγματα είχαν παραζορίσει. Ήδη από το 1938 η Αυστρία ήταν μέρος της ναζιστικής Γερμανίας. Οπότε επιστρέφοντας ο Gödel ήρθε αντιμέτωπος με τραγικές αλλαγές στους ακαδημαϊκούς κύκλους, ανάμεσα σε αυτές και το γεγονός ότι ακυρώθηκε η θέση του στο πανεπιστήμιο και έπρεπε να υποβάλλει ξανά αίτηση για να τον προσλάβουν. Όμως, το ότι είχε πάρε δώσε με Εβραίους δούλεψε κατά του και έτσι τον άφησαν στην απέξω. Εκτός αυτού, τα ναζιά τον βρήκαν κατάλληλο για στρατολόγηση και αν έμενε για λίγο ακόμη στην Αυστρία θα του φορούσαν ναζίδικη στολή και θα τον έστελναν να κόψει κώλους — πράγμα που ο δικός μας, φυσικά, δεν ήθελε ούτε κατά διάνοια.
Οπότε, έτσι όπως γύρισε Αυστρία, έτσι έφυγε και πάλι για το Αμέρικα μαζί με την Adele, λίγο πριν ξεσπάσει ο ΄Β Παγκόσμιος, βρίσκοντας καταφύγιο στο Princeton όπου του δόθηκε και θέση στο ομώνυμο Πανεπιστήμιο. Εκεί έπιασε και πάλι τα μαθηματικά του τερτίπια και τα κολλητιλίκα με τον Einstein.
Μετά το τέλος του πολέμου αποφάσισε να ρίξει μια και καλή μαύρη πέτρα στην Ευρώπη και να πάρει αμερικάνικη υπηκοότητα. Για μάρτυρες του είχε τον Morgestern και τον Einstein και, λίγο πριν την εξέτασή του, τους εξομολογήθηκε πως είχε βρει ένα χωρίο στο αμερικάνικο σύνταγμα που άφηνε τρύπα για να σκάσει μύτη δικτατορικό καθεστώς στις ΗΠΑ. Με μια τέτοια ιδέα διακινδύνευε να μην πάρει ούτε στα όνειρά του αμερικάνικη υπηκοότητα, αλλά για καλή του τύχη έπεσε πάνω στον Phillip Forman, που ήταν γνωστός του Einstein, και όταν έπεσε η ερώτηση “θα μπορούσε να υπάρξει στην Αμερική δικτατορικό καθεστώς παρεμφερές με το ναζιστικό;” και ο δικός μας άρχισε να λέει το τροπάρι του, ο Forman έκανε έξυπνα αλλαγή θέματος και, παρά το ψυχοτέρρορ που βίωσαν οι Morgestern και Einstein (“πάει, δε θα πάρει υπηκοότητα ποτέ“), η όλη διαδικασία είχε επιτυχή έκβαση.
Από το 1946 και μετά έπαψε να δημοσιεύει τις εργασίες του, αλλά συνέχισε να εργάζεται πάνω στη μαθηματική λογική, και το 1953 έγινε καθηγητής στο Ινστιτούτο του Princeton.
Με το πέρασμα του χρόνου, άρχισε να στρέφει και πάλι το ενδιαφέρον του στη φιλοσοφία και τη φυσική. Γύρισε πάλι στα γραπτά του Kant και άλλων φιλοσόφων, και άρχισε να κυκλοφορεί, μέσα στους φιλικούς του κύκλους μια απόδειξη βασισμένη στην εκδοχή του Gottfried Leibniz πάνω στην οντολογική απόδειξη της ύπαρξης του θεού από τον Άγιο Άνσελμο του Canterburry. Αυτή η απόδειξη είναι γνωστή στις μέρες μας ως Gödel’s ontological proof, που όπως αναφέραμε κάνει διάφορους θεϊστές να ανατριχιάζουν από ηθική ευχαρίστηση, ακόμα και αν δεν καταλαβαίνουν περί τίνος πρόκειται — ή, μάλλον, επειδή δεν καταλαβαίνουν περί τίνος πρόκειται.
Η εν λόγω απόδειξη υπήρχε στη χαρτούρα του Gödel ήδη από το ’40 αλλά φοβόταν να την δημοσιεύσει, μιας και επειδή ήταν ο ίδιος θεϊστής θα κατηγορούταν πως έκανε αυτή την απόδειξη μόνο και μόνο για να δώσει πάτημα στα πιστεύω του. Έτσι άρχισε να μιλάει για αυτό του το πόνημα μόνο όταν ήρθε η στιγμή που νόμιζε πως θα πεθάνει.
Παρά το ότι ήταν θεϊστής, βέβαια, δεν ήταν θρησκόληπτος. Κατά κύριο λόγο πίστευε στην ύπαρξη ενός προσωπικού θεού και στη μετά θάνατον ζωή, αλλά όλα αυτά μέσα σε ένα μάλλον πιο ευρύ φιλοσοφικό πλαίσιο σε σχέση με τα άτομα που βρήκαν μετέπειτα πάτημα για τα θρησκευτικά τους πιστεύω στην απόδειξη του Gödel.
Για να μη στα πολυλογώ, η οντολογική απόδειξη του Gödel χρησιμοποιεί τροπική λογική και αποτελείται από τρεις ορισμούς και πέντε αξιώματα που με τη σειρά τους οδηγούν σε τρία θεωρήματα και ένα πόρισμα. Για να τα δούμε:
Ορισμός 1: Το x είναι θεϊκό αν, και μόνο αν, το x έχει σαν βασικές ιδιότητες εκείνες και μόνο εκείνες τις ιδιότητες που είναι θετικές.
Ορισμός 2: To A αποτελεί μια ουσία του x όταν, και μόνο όταν, για μια ιδιότητα Β, το x έχει αναγκαστικά και το Β αν, και μόνο αν το Α συνεπάγεται το Β.
Ορισμός 3: Το x αναγκαστικά υπάρχει όταν και μόνο όταν, κάθε ουσία του x έχει κατ’ ανάγκη επεξηγηθεί.
Αξίωμα 1: Κάθε ιδιότητα που συνεπάγεται από μια θετική ιδιότητα είναι θετική.
Αξίωμα 2: Αν μια ιδιότητα είναι θετική, η αντίθεση της δεν είναι θετική.
Αξίωμα 3: Η ιδιότητα του θεϊκού είναι θετική.
Αξίωμα 4: Αν μια ιδιότητα είναι θετική, τότε είναι κατ’ ανάγκη θετική.
Αξίωμα 5: Η κατ’ ανάγκη ύπαρξη είναι θετική ιδιότητα.
Από αυτά προκύπτουν:
Θεώρημα 1: Αν μια ιδιότητα είναι θετική, τότε είναι και συνεπής.
Πόρισμα 1: Η ιδιότητα του θεϊκού είναι συνεπής.
Θεώρημα 2: Αν κάτι είναι θεϊκό, τότε η ιδιότητα του θεϊκού είναι η ουσία αυτού του πράγματος.
Θεώρημα 3: Κατ’ ανάγκη η ιδιότητα του θεϊκού έχει επεξηγηθεί.
Άρα -κατά τον Gödel και την τροπική του λογική- “Θεός υπάρχει” και δεν είναι διόλου περίεργο που αυτή η απόδειξη αρέσει τόσο πολύ στους θεϊστές. Πριν όμως αρχίσεις να ξύνεις το κεφάλι σου με απορία και ν’ αναρωτιέσαι “βρε λες να υπάρχει;” ή “τι μαλακίες έλεγε ο τύπος“, έχε στα υπόψιν σου πως η τροπική λογική αποτελεί κατά κύριο λόγο ένα γλωσσικό εργαλείο που βοηθάει στο σχηματισμό ξεκάθαρων επιχειρημάτων, χωρίς να προσφέρει απαραίτητα την απόλυτη αλήθεια. Σαν συνέχεια αυτού, σκέψου πως ο Gödel χρησιμοποίησε αυτό το εργαλείο για να συνθέσει ένα επιχείρημα υπέρ της ύπαρξης μιας θεϊκής υπόστασης και όχι για να αποδείξει απόλυτα και αμετάκλητα την ύπαρξη του θεού. Εδώ που τα λέμε, για να κάνει κάποιος το τελευταίο πρέπει να είναι λίγο ως πολύ φανατίκλας και παράλληλα μεγαλομανής, ποιότητες που δεν φαίνεται να κουβαλούσε ο Gödel.
Γυρνώντας στα βιογραφικά του, όπως αναφέρθηκε, μέσα στα 70′s άρχισε να πιστεύει πως θα πεθάνει. Για την ακρίβεια άρχισε να βιώνει καταστάσεις έντονης ψυχολογικής αστάθειας και να του καρφώνεται στο μυαλό εκείνος ο φόβος της νιότης του, ότι θέλουν να τον φαρμακώσουν. Εξαιτίας αυτού του φόβου έτρωγε μόνο από το φαγητό που έφτιαχνε η Adele, μιας και ήταν το μόνο άτομο που εμπιστευόταν εξ ολοκλήρου. Αυτό το σκάλωμά του όμως αποδείχτηκε μοιραίο. Προς τα τέλη του 1977 η Adele αντιμετώπιζε προβλήματα υγείας και έπρεπε να νοσηλευτεί για ένα εξάμηνο. Κατά την απουσία της ο Gödel απλά αρνούταν να βάλει οτιδήποτε στο στόμα του, με αποτέλεσμα να πεθάνει από αυτό-επιβεβλημένη ασιτία στις 14 Ιανουαρίου του 1978, έχοντας φτάσει στα 30 κιλά.
Αποτελεί ένα από τα παράδοξα αυτού του κόσμου, πώς άνθρωποι με νοητικές ικανότητες τόσο υψηλού επιπέδου μπορούν έτσι όμορφα και άνετα να φάνε αυτοκαταστροφικά σκαλώματα. Το παράδοξο λύνεται μόνο αν αποδεχτούμε την πολυπλοκότητα του ανθρώπινου νου και το ότι όσο και να υπερτερεί κάποιος διανοητικά σε οποιονδήποτε τομέα, δε παύει να είναι άνθρωπος, με τα ζόρια του — και ας μην ξεχνάμε πως στη περίπτωση του Gödel είχαμε από νωρίς βαρβάτα περιστατικά ψυχικής διαταραχής, με τα οποία πάλευε ώστε να μην τον φάνε. Στο τέλος μπορεί να τον κατέστρεψε η ίδια του η τρέλα, αλλά αξίζει τα ρισπέκτια μας που όχι μόνο κατάφερε να ζήσει το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του αντιμετωπίζοντας την, αλλά και που παράλληλα προσέφερε αξιόλογο μερίδιο γνώσης στην ανθρωπότητα.
Κάπου εδώ τελειώσαμε με αυτό το αφιέρωμα για τον Κουρτ Γκέντελ. Την επόμενη φορά θα ξαναγυρίσουμε σε εκλεπτυσμένες περιπτώσεις μέχρι να δεήσω να πιάσω κάποια άλλη θεματική ενότητα. Μέχρι τότε, ψήσου να μαντέψεις τι μπορεί να ετοιμάζω.
 είναι γνωστός για τη διατύπωση){kind=link}