Μελανές Οπές (Μαύρες Τρύπες) και η διατύπωση του Stephen Hawking

Μελανές Οπές (Μαύρες Τρύπες) και η διατύπωση του Stephen Hawking

Οι μελανές οπές (Μαύρες Τρύπες όπως είναι η γνωστότερη ονομασία τους) αποτελούν μία από τις πιο ακραίες, αλλά και πιο συναρπαστικές προβλέψεις της γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Για πολλές δεκαετίες οι επιστήμονες πίστευαν ότι πρόκειται για παθητικά Ουράνια σώματα που καταβροχθίζουν οτιδήποτε βρίσκεται στη γειτονιά τους.

Ωστόσο στις αρχές της δεκαετίας του 1970 αποδείχτηκε ότι οι μελανές οπές ακτινοβολούν, μειώνοντας σταδιακά τη μάζα τους, και τελικά εξαερώνεται με μία τεράστια έκρηξη, η οποία συνοδεύεται από απελευθέρωση φωτός και σωματιδίων στο μεσοαστρικό χώρο.

Το 1917, ένα μόλις χρόνο μετά τη διατύπωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, ο Karl Schwarzschild έλυσε τις εξισώσεις πεδίου του Einstein για μια σφαιρικά συμμετρική κατανομή μάζας (ένα σφαιρικό άστρο για παράδειγμα) και υπολόγισε τη γεωμετρία του χωροχρόνου στον χώρο έξω από τη μάζα. Ο Schwarzschild υπολόγισε τη γεωμετρία αυτή με τη βοήθεια μιας σταθεράς rs η οποία ονομάστηκε ακτίνα Schwarzschild και ισούται με 2Gm/c2 , όπου G είναι η σταθερά της παγκόσμιας έλξης του Newton, m είναι η συνολική μάζα και c η ταχύτητα του φωτός. Ο Schwarzschild θέλησε αρχικά να υπολογίσει τον χωροχρόνο για r>rs , θεωρώντας ότι ο χώρος τον οποίο καταλαμβάνει η μάζα καλύπτει την περιοχή με r μικρότερο ή ίσο του rs.

Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που η εν λόγω κατανομή μάζας περιορίζεται στην περιοχή με r< rs; Με άλλα λόγια, τι συμβαίνει εάν η ακτίνα του άστρου είναι μικρότερη από την ακτίνα Schwarzschild; Στην περίπτωση αυτή το πεδίο βαρύτητας του άστρου είναι τόσο ισχυρό ώστε ούτε το ίδιο του το φως δεν μπορεί να διαφύγει, πράγμα που σημαίνει ότι στην περιοχή έχει σχηματισθεί μια μελανή οπή (black hole ή «μαύρη τρύπα»).Οι μελανές οπές σχηματίζονται συνήθως από τη βαρυτική κατάρρευση άστρων μεγάλης μάζας.

Τα άστρα δημιουργούνται από συμπύκνωση μεσοαστρικής ύλης η οποία προκαλεί αύξηση της πυκνότητας και της θερμοκρασίας του μεσοαστρικού νέφους με αποτέλεσμα την έναρξη θερμοπυρηνικών αντιδράσεων στο κέντρο του νέφους ενώ παράλληλα εκπέμπεται έντονη ακτινοβολία η οποία με τη σειρά της ασκεί πίεση στα υπερκείμενα στρώματα της ύλης και έτσι αναστέλλεται η περαιτέρω συστολή του νέφους-άστρου.

Αρχικά οι θερμοπυρηνικές αντιδράσεις μετατρέπουν το υδρογόνο σε ήλιο. Η φάση αυτή διαρκεί πολλά εκατομμύρια ή και δισεκατομμύρια χρόνια. Οταν εξαντληθεί το υδρογόνο συμβαίνουν για ένα μικρό σχετικά διάστημα (μερικών δεκάδων εκατομμυρίων ετών το πολύ) αντιδράσεις στις οποίες λαμβάνει μέρος το στοιχείο ήλιο και άλλα βαρύτερα στοιχεία. Τελικά οι θερμοπυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό του άστρου παύουν εντελώς με αποτέλεσμα την περαιτέρω βαρυτική κατάρρευση και συστολή του άστρου.

Στην περίπτωση που η μάζα του άστρου είναι μεγαλύτερη από 3 περίπου ηλιακές μάζες, η βαρυτική κατάρρευση είναι πλήρης και οδηγεί στη δημιουργία μελανής οπής. Ολόκληρο το άστρο περιλαμβάνεται μέσα στη μελανή οπή και καταλήγει σε ένα «ανώμαλο» σημείο, που καλείται μοναδικότητα, στο κέντρο της οπής. Η σημειακή αυτή ανωμαλία είναι μια καθαρά μαθηματική έννοια η οποία πρακτικά αντιστοιχεί σε μια τεράστια συγκέντρωση μάζας σε ελάχιστο όγκο.

Η ακτίνα του Schwarzschild ορίζει μια σφαίρα ακτίνας rs που καλείται «ορίζοντας γεγονότων» της οπής και καθορίζει τα όριά της. Ο «ορίζοντας γεγονότων», δρώντας ουσιαστικά σαν ημιπερατή μεμβράνη, χωρίζει τον χώρο σε δύο περιοχές: μια που είναι παρατηρήσιμη, για r> rs, και μια μη παρατηρήσιμη , για r< rs. Οτιδήποτε περάσει από το νοητό αυτό σύνορο δεν μπορεί να διαφύγει και είναι καταδικασμένο να καταλήξει στη σημειακή ανωμαλία.

Στη σύντομη αναφορά για τη βαρυτική κατάρρευση που έγινε πιο πάνω, θεωρήσαμε ότι το άστρο εξακολουθεί να διατηρεί το σφαιρικό του σχήμα σε όλη τη διάρκεια της συστολής του. Οι μελανές οπές που σχηματίζονται με αυτό τον τρόπο ονομάζονται μελανές οπές Schwarzschild ενώ η γεωμετρία του χωροχρόνου, στην περιοχή μιας τέτοιας οπής, ονομάζεται γεωμετρία Schwarzschild. Η γεωμετρία Schwarzschild περιγράφεται πλήρως από την ακτίνα Schwarzschild ή από τη μάζα της μελανής οπής.

Τι συμβαίνει όμως αν το άστρο που καταρρέει περιστρέφεται ταυτόχρονα γύρω από κάποιον άξονα; Τότε, σύμφωνα με τους νόμους της Δυναμικής, η στροφορμή του διατηρείται σταθερή σε όλη τη διάρκεια της συστολής του. Καθώς λοιπόν το άστρο συστέλλεται, η ακτίνα του μειώνεται και η ταχύτητα περιστροφής του αυξάνεται, άρα υπάρχει κίνδυνος να διαμελιστεί. Εάν δεν διαμελιστεί, τότε δημιουργείται τελικά μια μελανή οπή η οποία εκτός από μάζα διαθέτει και στροφορμή.

Μια τέτοια οπή ονομάζεται μελανή οπή του Kerr προς τιμή του Νεοζηλανδού μαθηματικού Roy Kerr, ο οποίος το 1963, λύνοντας τις εξισώσεις του Einstein, περιέγραψε τη γεωμετρία του χωροχρόνου στην περιοχή γύρω από μια περιστρεφόμενη μελανή οπή. Η γεωμετρία αυτή περιγράφεται από τη μάζα και τη στροφορμή της μελανής οπής. Ο χώρος στην περιοχή μιας οπής Kerr χαρακτηρίζεται από δύο επιφάνειες.

Ένα σφαιρικό ορίζοντα γεγονότων, όπως αυτόν μιας οπής Schwarzschild, και μια ακόμη επιφάνεια ελλειψοειδούς μορφής που περιβάλλει και εφάπτεται με τον ορίζοντα στους πόλους. Η επιφάνεια αυτή ονομάζεται «στατικό όριο» ενώ η περιοχή μεταξύ του ορίζοντα και του στατικού ορίου λέγεται εργόσφαιρα. Εάν ένα σώμα βρεθεί στην περιοχή αυτή, παρασύρεται σε περιστροφή μαζί με τη μελανή οπή. Βλέπουμε ότι το στατικό όριο, το εξωτερικό δηλαδή σύνορο της εργόσφαιρας, εκφράζει την εγγύτερη περιοχή της μελανής οπής όπου μπορεί να πλησιάσει ένας παρατηρητής χωρίς να παρασυρθεί από την περιστροφική της κίνηση.

Εάν εξετάσουμε περιστρεφόμενες μελανές οπές, διαπιστώνουμε ότι καθώς η στροφορμή τους μειώνεται, η περιοχή της εργόσφαιρας μικραίνει και τελικά, όταν μηδενιστεί η στροφορμή, το στατικό όριο ταυτίζεται με τον ορίζοντα γεγονότων. Καταλήγουμε έτσι σε μια μελανή οπή Schwarzschild.

Φυσική των μελανών οπών και το θεώρημα αύξησης των εμβαδών

Θεωρώντας δεδομένη την ύπαρξη των μελανών οπών, οι φυσικοί, προσπαθώντας να περιγράψουν τον τρόπο με τον οποίο αυτές αλληλεπιδρούν, είτε μεταξύ τους είτε με άλλα σώματα, κατέληξαν σε συγκεκριμένους φυσικούς νόμους που καθορίζουν τη συμπεριφορά τους. Οι μελανές οπές υπακούουν στους ίδιους νόμους διατήρησης της ενέργειας, της ορμής και της στροφορμής που ελέγχουν τη δυναμική συμπεριφορά της γνωστής μας ύλης.

Έτσι όταν ένα κομμάτι ύλης μάζας m πέσει μέσα σε μια οπή, αυτή αυξάνει τη μάζα της κατά m ενώ παράλληλα διευρύνεται και ο ορίζοντας γεγονότων της.

Ας δούμε όμως τι συμβαίνει στην περίπτωση που συγκρουστούν δύο μελανές οπές μεταξύ τους. Ο πρώτος που προσπάθησε να απαντήσει πειστικά στο ερώτημα αυτό ήταν ο διάσημος Αγγλος φυσικός Stephen Hawking ο οποίος, στις αρχές της δεκαετίας του 70, επεχείρησε αρχικά να υπολογίσει πόση βαρυτική ακτινοβολία παράγεται κατά τη σύγκρουση και συγχώνευση δύο μελανών οπών.

Ο Hawking, που από το 1979 είναι καθηγητής θεωρητικής φυσικής στο Πανεπιστήμιο του Cambridge, διαπίστωσε ότι για να μελετήσει αποτελεσματικά το πρόβλημα έπρεπε να ορίσει εκ νέου την έννοια του ορίζοντα μιας μελανής οπής. Μέχρι τα τέλη της δεκαετίας του ’60 οι φυσικοί φαντάζονταν τον ορίζοντα μιας μελανής οπής ως το όριο όπου τα φωτόνια, παρά την προσπάθειά τους να διαφύγουν, επανέρχονται στο εσωτερικό της οπής εξ αιτίας της βαρυτικής έλξης που υφίστανται από αυτή.

Ο ορισμός αυτός ήταν προβληματικός αφού καθιστούσε τον ορίζοντα σχετικό και εξαρτώμενο από το σύστημα αναφοράς. Οι παρατηρητές που πέφτουν μέσα στην οπή βλέπουν τον ορίζοντα σε διαφορετική θέση από τους ακίνητους παρατηρητές που βρίσκονται έξω από την οπή. Επίσης καθώς αυξάνεται η μάζα της οπής, ο ορίζοντας μετακινείται με τρόπο ασυνεχή.

Ο Hawking όρισε ξανά την έννοια του ορίζοντα ως το όριο του χωροχρόνου ανάμεσα στα γεγονότα που βρίσκονται εκτός του ορίζοντα, και τα οποία μπορούν να στείλουν σήματα στο μακρινό σύμπαν, και στα γεγονότα που βρίσκονται εντός του ορίζοντα, και τα οποία δεν μπορούν να επικοινωνήσουν με το μακρινό σύμπαν.

Ο ορισμός αυτός οδηγεί στο συμπέρασμα ότι κατά την αύξηση της μάζας μιας μελανής οπής, ο ορίζοντάς της αλλάζει με συνεχή τρόπο.Ο Hawking διαπίστωσε ότι με την πάροδο του χρόνου, το εμβαδόν του ορίζοντα μιας οπής, όπως τον επαναπροσδιόρισε, είτε αυξάνεται είτε παραμένει σταθερό. Οταν οι μελανές οπές συγκρούονται και συνενώνονται, αλλά και όταν δημιουργούνται, όταν καταβροχθίζουν ύλη ή βαρυτικά κύματα, ακόμα και όταν χάνουν περιστροφική ενέργεια εξαιτίας του στροβιλισμού του χώρου στη γειτονιά τους, το εμβαδόν του ορίζοντά τους σχεδόν πάντοτε αυξάνεται και με κανένα τρόπο δεν μπορεί να ελαττωθεί.

Οτιδήποτε πέφτει σε μια μελανή οπή αυξάνει την ενέργειά της. Η ενέργεια αυτή δεν μπορεί να διαφύγει και μετατρέπεται σε βαρύτητα αυξάνοντας το εμβαδόν του ορίζοντα της οπής.

Οι μελανές οπές ακτινοβολούν

Εναν περίπου χρόνο πριν την ανακάλυψη του θεωρήματος αύξησης των εμβαδών από τον Hawking, ένας Ελληνας μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Princeton, ο Δημήτριος Χριστοδούλου, παρατήρησε την ομοιότητα των εξισώσεων που περιγράφουν τις μεταβολές των μελανών οπών με τις εξισώσεις της θερμοδυναμικής.

Μετά τη δημοσίευση της εργασίας του Hawking σχετικά με την αύξηση των εμβαδών, η ομοιότητα που παρατήρησε ο Χριστοδούλου ενισχύθηκε καθώς αποκαλύφθηκε ότι το εν λόγω θεώρημα ήταν ουσιαστικά η επαναδιατύπωση του 2ου νόμου της θερμοδυναμικής εάν θεωρήσουμε ότι οι μελανές οπές έχουν εντροπία που είναι ανάλογη με το εμβαδόν του ορίζοντά τους.

Ο Hawking αρχικά θεώρησε την ομοιότητα αυτή τυχαία λέγοντας ότι είναι αδιανόητο να συνδεθεί το εμβαδόν του ορίζοντα μιας οπής με την εντροπία της. Οι περισσότεροι ειδικοί των μελανών οπών, όπως και ο Hawking, πίστευαν ότι οι μελανές οπές έχουν μηδενική εντροπία, γεγονός που οδηγούσε σε παραβίαση του 2ου θερμοδυναμικού νόμου. Ο πρώτος που επεχείρησε να συνδέσει ποσοτικά το εμβαδόν του ορίζοντα με την εντροπία ήταν ο Jacob Bekenstein, ο οποίος υπολόγισε πόσο πρέπει να αυξηθεί η εντροπία μιας οπής όταν απορροφήσει έναν αριθμό από σωματίδια ώστε να μη παραβιάζεται ο 2ος θερμοδυναμικός νόμος.

Ακολούθως υπολόγισε πόσο αυξάνεται το εμβαδόν του ορίζοντά της κατά την απορρόφηση αυτή. Ετσι κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η εντροπία είναι ίση με το εμβαδόν του ορίζοντα διαιρεμένο με μια σταθερά, η οποία σχετίζεται με τους νόμους της κβαντικής βαρύτητας και ονομάζεται εμβαδόν Planck-Wheeler.

Λίγο αργότερα, οι Bardeen, Carter και Hawking, ξεκινώντας από τις εξισώσεις πεδίου του Einstein, κατέληξαν σε ένα σύνολο εξισώσεων, που ονομάστηκαν νόμοι της μηχανικής των μελανών οπών και περιγράφουν την εξέλιξή τους, διαπιστώνοντας την εκπληκτική ομοιότητά τους με τους νόμους της θερμοδυναμικής.

Ουσιαστικά οι νόμοι αυτοί ταυτίζονταν με τους νόμους της θερμοδυναμικής εάν αντικαθιστούσαν τη φράση «το εμβαδόν του ορίζοντα» με τη λέξη «εντροπία» και τη φράση «επιφανειακή βαρύτητα του ορίζοντα» με τη λέξη «θερμοκρασία». (Η επιφανειακή βαρύτητα είναι η ένταση της βαρυτικής έλξης που αισθάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής ακριβώς πάνω από τον ορίζοντα). Η ομοιότητα αυτή ενίσχυσε τους ισχυρισμούς του Bekenstein αλλά ο Hawking παρέμενε αμετάπειστος. Ωστόσο υπήρχε μια βαθύτερη και πιο ουσιαστική συνέπεια από την ομοιότητα αυτή.

Σύμφωνα με τους νόμους της θερμοδυναμικής, κάθε σώμα με μη μηδενική θερμοκρασία, εκπέμπει, έστω και ελάχιστη, ακτινοβολία. Εάν λοιπόν μια μελανή οπή έχει εντροπία και πεπερασμένη θερμοκρασία, τότε πρέπει να ακτινοβολεί! Ακόμα και ο Bekenstein, που ως μαθητής του Wheeler είχε μάθει να είναι «αιρετικός», δεν υποστήριξε ανοικτά τον ισχυρισμό αυτό παρότι αργότερα παραδέχθηκε ότι η ιδέα τον βασάνιζε.

Ο πρώτος που υποστήριξε ότι οι μελανές οπές ακτινοβολούν ήταν ο Σοβιετικός φυσικός Yakov Borisovich Zel’dovich. Ο Zel’dovich ήταν αυτός που μερικά χρόνια πριν, το 1965, βασιζόμενος στην αλάνθαστη φυσική του διαίσθηση, ισχυρίστηκε πρώτος, ότι η δημιουργία μιας μελανής οπής «δεν αφήνει ίχνη». Ο ισχυρισμός του αποδείχθηκε σωστός και αργότερα έγινε συνώνυμος με τη φράση ότι «οι μελανές οπές δεν έχουν τρίχες».

Ο Zel’dovich υποστήριξε ότι οι μελανές οπές ακτινοβολούν και ότι αιτία αυτής της εκπομπής είναι οι βαρυτικές διακυμάνσεις του κενού που συμβαίνουν στη γειτονιά του ορίζοντά τους. Οι διακυμάνσεις αυτές είναι πολύ μικρές και τυχαίες διακυμάνσεις της καμπυλότητας του χωροχρόνου οι οποίες υπάρχουν ακόμα και όταν αφαιρέσουμε όλη την ύλη και την ακτινοβολία από μια περιοχή του χώρου. Είναι ένα κβαντικό φαινόμενο που ανακαλύφθηκε από τον Wheeler τη δεκαετία του 50. Σύμφωνα με τον Zel’dovich, βαρυτικά κύματα δημιουργούνται από τις διακυμάνσεις του κενού στη γειτονιά του ορίζοντα μιας περιστρεφόμενης μελανής οπής και κατευθύνονται προς αυτή.

Ένα μέρος του κύματος απορροφάται από την οπή ενώ το υπόλοιπο διαφεύγει. Η συχνότητα του αρχικού κύματος, που δημιουργείται από τη διακύμανση του κενού, είναι τέτοια ώστε το τμήμα που απορροφάται να έχει αρνητική ενέργεια. Ετσι το τμήμα που διαφεύγει έχει μεγαλύτερο πλάτος και άρα μεγαλύτερη ενέργεια από το αρχικό κύμα. Με τον μηχανισμό αυτό η εκπομπή βαρυτικής ακτινοβολίας από μια περιστρεφόμενη οπή μειώνει σταδιακά τη στροφορμή επιβραδύνοντας την περιστροφή της. Τελικά όταν χάσει όλη την περιστροφική της ενέργεια, η μελανή οπή παύει να εκπέμπει βαρυτική ακτινοβολία.

Συρρίκνωση και εξαέρωση

Ο Zel’dovich δημοσίευσε το επιχείρημα περί εκπομπής βαρυτικής ακτινοβολίας από μια μελανή οπή, και λίγο αργότερα, όταν συνάντησε τον Hawking στη Μόσχα, του ανέπτυξε τη συλλογιστική του. Η επιχειρηματολογία του Zel’dovich στηρίχθηκε σε έναν μάλλον ελλιπή συνδυασμό της κβαντικής μηχανικής με τη γενική θεωρία της σχετικότητας, που είχε αναπτύξει από κοινού με έναν μεταπτυχιακό συνεργάτη του.

Παρόλα αυτά, η ιδέα φάνηκε ελκυστική στον Hawking. Λίγο αργότερα, σε μια δημοσίευση στο περιοδικό Nature, ο Hawking προέβλεψε ότι κάθε περιστρεφόμενη μελανή οπή πρέπει να ακτινοβολεί. Εξαιτίας της εκπομπής αυτής, η περιστροφική ενέργεια της οπής μειώνεται και κάποια στιγμή, όταν μηδενιστεί η στροφορμή της, παύει να περιστρέφεται, όπως ακριβώς είχε ισχυριστεί και ο Zel’dovich.

Ωστόσο ο Hawking υποστήριξε ότι η εκπομπή ακτινοβολίας από την οπή δεν σταματά όταν μηδενιστεί η στροφορμή της. Παρότι δεν διαθέτει άλλη περιστροφική ενέργεια, η οπή συνεχίζει να εκπέμπει ακτινοβολία με ρυθμό που τείνει προς μια σταθερή μη μηδενική τιμή, ενώ παράλληλα συνεχίζει να χάνει ενέργειά.

Ο Hawking προχώρησε παραπέρα, υπολόγισε το φάσμα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας και έδειξε ότι ταυτίζεται με το φάσμα της θερμικής ακτινοβολίας ενός μέλανος σώματος. Ουσιαστικά έδειξε ότι ο ορίζοντας της οπής έχει πεπερασμένη θερμοκρασία που είναι ανάλογη με την επιφανειακή της βαρύτητα.

Ο ισχυρισμός του Bekenstein, ότι οι μελανές οπές έχουν εντροπία ανάλογη προς το εμβαδόν του ορίζοντά τους, αποδείχθηκε τελικά σωστός. Ωστόσο, οι υπολογισμοί του Hawking οδηγούσαν και σε ένα άλλο πιο εντυπωσιακό συμπέρασμα. Όταν χάσει όλη την περιστροφική της ενέργεια, η οπή μετατρέπεται σε μελανή οπή Schwarzschild και το εμβαδόν του ορίζοντά της ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας της rs, δηλαδή είναι ανάλογο του τετραγώνου της μάζας της.

Έτσι η εντροπία της, που είναι ανάλογη προς το εμβαδόν της, είναι και αυτή ανάλογη του τετραγώνου της μάζας της. Από την άλλη, η επιφανειακή βαρύτητα και η θερμοκρασία της είναι ανάλογες του πηλίκου της μάζας προς το εμβαδόν της, δηλαδή αντιστρόφως ανάλογες της μάζας της.

Επομένως η οπή, καθώς ακτινοβολεί, μειώνει το εμβαδόν και την εντροπία της, αλλά αυξάνει τη θερμοκρασία της. Μειώνεται δηλαδή σε μέγεθος και παράλληλα θερμαίνεται. Ο Hawking έδειξε, ότι για έναν μακρινό παρατηρητή, ο ρυθμός εκπομπής ακτινοβολίας από την οπή δεν ελαττώνεται τείνοντας στο μηδέν, αλλά τείνει να σταθεροποιηθεί προσεγγίζοντας μια σταθερή μη μηδενική τιμή, που είναι ανεξάρτητη από τις λεπτομέρειες της βαρυτικής κατάρρευσης οι οποίες οδήγησαν στον σχηματισμό της.

Αυτό σημαίνει ότι αρχικά η εκπομπή ακτινοβολίας γίνεται με αργό ρυθμό. Καθώς όμως κυλά ο χρόνος, η οπή ακτινοβολεί όλο και περισσότερο, ενώ ταυτόχρονα η μάζα της μειώνεται, συρρικνώνεται και θερμαίνεται. Οταν η μάζα της έχει μειωθεί αισθητά, η θερμική εκπομπή γίνεται με ταχύτατο ρυθμό και τελικά η οπή εξαερώνεται με μια τρομερή έκρηξη. Σε πεπερασμένο χρόνο η οπή εκπέμπει όλη την ενέργειά της, με τη μορφή θερμικής εκπομπής σωματιδίων, και εξαφανίζεται.

Η εκπομπή ακτινοβολίας Hawking, όπως ονομάστηκε, είναι ένα κβαντομηχανικό φαινόμενο και εξηγείται με εφαρμογή της κβαντικής μηχανικής στα ηλεκτρομαγνητικά πεδία στη γειτονιά μιας μελανής οπής. Θα προσπαθήσουμε εδώ να δώσουμε μια σύντομη ποιοτική περιγραφή. Σύμφωνα με την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, οι αβεβαιότητες σε δύο συζυγή μεγέθη έχουν γινόμενο της τάξης της σταθεράς του Planck h/2π. Μία μορφή της αρχής της αβεβαιότητας είναι η ΔΕΔt >= h/2π,όπου ΔΕ είναι η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ενέργειας ενός σωματιδίου που βρίσκεται σε μια κβαντική κατάσταση με ενέργεια Ε, και Δt είναι ο χρόνος που το σωματίδιο παραμένει στη συγκεκριμένη κατάσταση.

Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία, ο χώρος είναι πλήρης διακυμάνσεων κενού των πεδίων που περιέχει (ηλεκτρομαγνητικών, βαρυτικών κλπ. πεδίων). Οι διακυμάνσεις αυτές συνίστανται σε ζεύγη «φανταστικών» σωματιδίων-αντισωματιδίων (ονομάζονται δυνητικά ζεύγη) τα οποία γεννιούνται σε ένα σημείο του χωροχρόνου και εξαϋλώνονται σε ένα άλλο, συνήθως γειτονικό, σημείο.

Η δημιουργία αυτών των ζευγών είναι αδύνατη στην κλασική φυσική αλλά δυνατή στην κβαντική φυσική. Η αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg επιτρέπει την παραβίαση της αρχής διατήρησης της ενέργειας σε μικροσκοπική κλίμακα και για πολύ μικρούς γενικά χρόνους. Οι παραπάνω διακυμάνσεις του κενού υπάρχουν και στην περιοχή του ορίζοντα μιας μελανής οπής. Θεωρούμε λοιπόν ότι από μια τέτοια διακύμανση του κενού δημιουργούνται δύο φωτόνια με ενέργειες Ε και -Ε.

Το φωτόνιο αρνητικής ενέργειας δεν μπορεί να κινηθεί ελεύθερα διότι τότε ένας παρατηρητής που ταξιδεύει μαζί με το φωτόνιο θα έβλεπε τον χρόνο να ρέει προς τα πίσω, πράγμα που παραβιάζει την αρχή της αιτιότητας. Ετσι το φωτόνιο αρνητικής ενέργειας είναι αναγκασμένο να εξαφανιστεί σε χρόνο h/2πΕ. Εάν όμως τα δύο φωτόνια δημιουργηθούν πολύ κοντά στον ορίζοντα γεγονότων, τότε είναι δυνατόν το αρνητικής ενέργειας φωτόνιο να διασχίσει τον ορίζοντα σε χρόνο μικρότερο από h/2πΕ να πέσει μέσα στην οπή και να εξαφανιστεί.

Το φωτόνιο που έχει θετική ενέργεια αποδεσμεύεται, μετατρέπεται σε πραγματικό σωματίδιο, απομακρύνεται από την οπή και σε έναν μακρινό παρατηρητή φαίνεται ως εκπομπή ακτινοβολίας. Ο Hawking έδειξε ότι ο συγκεκριμένος μηχανισμός εκπομπής σωματιδίων ισχύει και για όλα τα άλλα είδη σωματιδίων όπως ηλεκτρόνια, ποζιτρόνια, νετρίνα, αντινετρίνα κλπ.

Απαραίτητη προϋπόθεση για την υλοποίηση των ζευγών και τη δημιουργία πραγματικών σωματιδίων είναι όχι τόσο το έντονο πεδίο βαρύτητας όσο οι έντονες παλιρροιογόνες δυνάμεις, οι απότομες δηλαδή μεταβολές της καμπυλότητας του χωροχρόνου στη γειτονιά του ορίζοντα της οπής.

Αλλά πόσος είναι ο χρόνος που απαιτείται για να εξαερωθεί μια μελανή οπή; Μία μελανή οπή με μάζα περίπου όση η μάζα του Ηλιου έχει θερμοκρασία 10-7 Κ (ένα δεκάκις εκατομμυριοστό του βαθμού πάνω από το απόλυτο μηδέν). Ο χρόνος ζωής (life time) μιας τέτοιας οπής είναι περίπου 1067 χρόνια! Ουσιαστικά η ακτινοβολία που εκπέμπει είναι ασήμαντη. Δεδομένου τώρα ότι οι συνήθεις μελανές οπές έχουν μάζα μεγαλύτερη από 3 ηλιακές μάζες, η θερμοκρασία τους είναι ακόμη μικρότερη και ο χρόνος ζωής τους μεγαλύτερος.

Επιπρόσθετα, οι μελανές οπές βρίσκονται μέσα στην «ακτινοβολία μικροκυμάτων», που είναι υπόλειμμα της ακτινοβολίας του πρώιμου σύμπαντος και γεμίζει σχεδόν ομοιόμορφα όλο το σύμπαν, το φάσμα της οποίας αντιστοιχεί σε μέλαν σώμα θερμοκρασίας περίπου 2,7 Κ. Επομένως οι οπές σε αυτή τη φάση της ζωής τους πρέπει να απορροφούν ακτινοβολία και όχι να εκπέμπουν.

Ωστόσο, εάν το σύμπαν μας είναι συνεχώς διαστελλόμενο, όπως πιστεύεται, σε κάποια χρονική στιγμή στο μακρινό μέλλον, η θερμοκρασία της ακτινοβολίας μικροκυμάτων θα μειωθεί εξαιτίας της διαστολής, πέφτοντας κάτω από τους 10^-7 Κ και τότε οι συνήθεις μελανές οπές θα αρχίσουν να ακτινοβολούν, ενώ θα περάσουν περίπου 10^67 χρόνια, από τη στιγμή που θα αρχίσουν να ακτινοβολούν, για να εξαερωθούν.

Δηλαδή για τις οπές αυτές, που δημιουργούνται από αστρική κατάρρευση, η ακτινοβολία Hawking είναι αμελητέα. Φαίνεται όμως ότι η αστρική κατάρρευση δεν είναι ο μοναδικός τρόπος δημιουργίας μελανών οπών στο σύμπαν. Πιστεύεται ότι στο πρώιμο σύμπαν, κατά τα πρώτα στάδια της διαστολής του, δημιουργήθηκαν οι λεγόμενες «αρχέγονες μελανές οπές» (primordial black holes).

Οι οπές αυτές δημιουργήθηκαν λόγω τοπικής κατάρρευσης της ύλης σε σημεία που είτε η πυκνότητα της ύλης του πρώιμου σύμπαντος είτε το βαρυτικό πεδίο ήταν εξαιρετικά ισχυρό. Η μάζα των αρχέγονων οπών πρέπει να κυμαίνεται από 10-5 gr έως 1015 gr. Για να αντιληφθούμε το πόσο μικρές είναι αυτές οι μάζες, αναφέρουμε ενδεικτικά ότι η μάζα της Γης είναι της τάξης των 1027 gr ενώ οι συνήθεις μελανές οπές έχουν μάζα μεγαλύτερη από 1033 gr.

Εξαιτίας της πολύ μικρής μάζας και άρα και του μεγέθους του ορίζοντά τους, οι αρχέγονες αυτές οπές καμπυλώνουν απότομα τον χωροχρόνο δημιουργώντας έντονες παλιρροιογόνες δυνάμεις, και ενισχύοντας έτσι τη δημιουργία σωματιδίων και την εκπομπή ακτινοβολίας Hawking. Μία μελανή οπή με μάζα 1015 gr έχει το μέγεθος ενός πρωτονίου ενώ η θερμοκρασία της είναι περίπου 1011 Κ! Μία τέτοια οπή εκπέμπει ισχύ 6000 MW, υπό μορφή σωματιδιακής ακτινοβολίας Hawking, και έχει χρόνο ζωής περίπου 10 δισεκατομμύρια χρόνια.

Είναι δηλαδή δυνατόν σήμερα να παρατηρούνται τελικές εκρήξεις τέτοιων οπών οι οποίες στα τελευταία στάδια της εξαέρωσής τους εκπέμπουν ακτίνες γ μεγάλης ενέργειας. Ο B. J. Carr ήταν ο πρώτος που μελέτησε, το 1975, τον σχηματισμό και εξαέρωση των αρχέγονων μελανών οπών με σκοπό να διαπιστώσει αν η παρατηρούμενη στο σύμπαν πυκνότητα νουκλεονίων καθώς επίσης και η ακτινοβολία μικροκυμάτων μπορούν να εξηγηθούν από τη σωματιδιακή εκπομπή ακτινοβολίας από αυτές.

Ο Carr, με απλούς συλλογισμούς, κατέληξε στη σχέση ότι M περίπου ίσο με 1038 t όπου Μ είναι η μάζα και t η χρονική στιγμή, από τη Μεγάλη Εκρηξη, της δημιουργίας της αρχέγονης οπής. Από τη σχέση αυτή βλέπουμε ότι οι αρχέγονες μελανές οπές σχηματίστηκαν στο διάστημα από 10-43s έως 10-23s από τη Μεγάλη Εκρηξη. Ο χρόνος 10-43s καλείται χρόνος Planck και είναι το έσχατο χρονικό όριο πέρα από το οποίο η κλασική φυσική καταρρέει και η γενική θεωρία της σχετικότητας είναι ανεπαρκής για να περιγράψει το σύμπαν.

Για την περιγραφή του σύμπαντος σε χρόνο ίσο ή μικρότερο από τον χρόνο Planck χρειαζόμαστε μια συνεπή θεωρία κβαντικής βαρύτητας την οποία σήμερα δεν διαθέτουμε. Οι διαταραχές πυκνότητας του πρώιμου σύμπαντος και η εξέλιξή τους, καθόρισαν τον σχηματισμό και την κατανομή μαζών των αρχέγονων οπών. Χρησιμοποιώντας απλά μοντέλα, ο Carr περιέγραψε τις διαταραχές πυκνότητας στο πρώιμο σύμπαν και υπολόγισε την εκπομπή στοιχειωδών και σύνθετων σωματιδίων από τις αρχέγονες οπές.

Όσον αφορά τα στοιχειώδη σωματίδια, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι αρχέγονες οπές εκπέμπουν quark και γκλουόνια τα οποία σχηματίζουν αργότερα βαρυόνια, μεσόνια και λεπτόνια. Επίσης συνεπέρανε ότι είναι δυνατή και η απ’ ευθείας εκπομπή σύνθετων σωματίων.

Η σωματιδιακή αυτή εκπομπή δεν κάνει διάκριση μεταξύ σωματιδίων και αντισωματιδίων. Δηλαδή, κατά την εκπομπή, δεν είναι απαραίτητη η διατήρηση του βαρυονικού αριθμού. Ετσι ο μηχανισμός της εκπομπής σωματιδίων από αρχέγονες μελανές οπές μπορεί να εξηγήσει τον παρατηρούμενο στο σύμπαν λόγο της πυκνότητας των βαρυονίων προς τα φωτόνια.

Επόχή Planck και εξαέρωση αρχέγονων μελανών οπών
Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας χρόνου-ενέργειας του Heisenberg, είναι δυνατόν να σχηματιστούν στο κενό ζεύγη σωματιδίων-αντισωματιδίων, ενέργειας έστω ΔΕ για το κάθε ζεύγος, τα οποία έχουν χρόνο ζωής Δt περίπου ίσο με h/2πΔΕ. Σύμφωνα με την περίφημη εξίσωση ύλης-ενέργειας του Einstein, κάθε σωματίδιο μάζας m ισοδυναμεί με ενέργεια Ε=mc2. Ετσι κάθε σχηματιζόμενο ζεύγος ισοδυναμεί με ενέργεια ΔΕ=2mc2. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο χρόνος ζωής του ζεύγους είναι της τάξης του h/4πmc2 που καλείται χρόνος Compton.

Όταν η μάζα είναι σχετικά μεγάλη, ο χρόνος Compton είναι μικρός, συνήθως μικρότερος από τον χρόνο Schwarzschild, 2Gm/c3, δηλαδή τον χρόνο που απαιτείται για να διανύσει το φως την ακτίνα Schwarzschild του σωματιδίου.

Η ακτίνα Schwarzschild ενός σωματιδίου μάζας m ισούται με την ακτίνα μιας οπής Schwarzschild με μάζα ίση με m. Καθώς μειώνεται η μάζα των δημιουργούμενων σωματιδίων, οι δύο χρόνοι πλησιάζουν μεταξύ τους και γίνονται ίσοι όταν η μάζα γίνει περίπου 10^-5 gr, όπου και εξισώνονται στην τιμή 10^-43s, δηλαδή στον χρόνο Planck, ενώ η μάζα 10^-5 gr λέγεται μάζα Planck.

Μπορεί να δειχθεί ότι μια αρχέγονη μελανή οπή με μάζα ίση με τη μάζα Planck εξαερώνεται σε χρόνο ίσο με τον χρόνο Planck. Επομένως οι αρχέγονες οπές με μάζα μικρότερη από τη μάζα Planck, εάν υπήρξαν, εξέπεμψαν όλη την ενέργειά τους και εξαφανίστηκαν σε χρόνο μικρότερο από 10^-43s. Πιστεύεται ότι ο σχηματισμός και η εξαέρωση των οπών αυτών προκάλεσε μια ταχύτατη εξίσωση των ανωμαλιών του πρώιμου σύμπαντος καθιστώντας το ομοιογενές και ισότροπο, αυξάνοντας παράλληλα και την εντροπία του.

Το θέμα αυτό, οι κοσμολογικές δηλαδή συνέπειες της εξαέρωσης των αρχέγονων μελανών οπών, είναι υπό διερεύνηση και η αποτελεσματική αντιμετώπισή του απαιτεί μια συνεπή θεωρία κβαντικής βαρύτητας. Από την άλλη, όπως αναφέρθηκε, οι συνήθεις μελανές οπές για να αρχίσουν να εκπέμπουν σωματίδια και να εξαερωθούν χρειάζονται χρόνο ασύλληπτα μεγαλύτερο από την ηλικία του σύμπαντος (13 περίπου δισεκατομμύρια χρόνια σύμφωνα με το μοντέλο της Μεγάλης Εκρηξης).

Κατά συνέπεια είναι μάλλον αδύνατο να ελέγξουμε με παρατηρήσεις την ισχύ του φαινομένου της ακτινοβολίας Hawking. Για τους αστροφυσικούς το θέμα φαίνεται να μη παρουσιάζει ενδιαφέρον. Ωστόσο έχει ιδιαίτερη σημασία για την κατανόηση της ενοποίησης της γενικής θεωρίας της σχετικότητας με την κβαντομηχανική και τη δημιουργία μιας συνεπούς θεωρίας κβαντικής βαρύτητας.

2ος θερμοδυναμικός νόμος και Εντροπία

Κάθε θερμοδυναμικό σύστημα αποτελείται από μεγάλο αριθμό σωματιδίων και η κατάστασή του περιγράφεται από ένα σύνολο μετρήσιμων φυσικών μεγεθών που ονομάζονται μακροσκοπικές μεταβλητές. Τέτοιες μεταβλητές είναι η θερμοκρασία, η πίεση, ο όγκος, η εντροπία και άλλες.

Σε κάθε μακροσκοπική κατάσταση, για σταθερές δηλαδή τιμές των μακροσκοπικών μεταβλητών, αντιστοιχεί ένας μεγάλος αριθμός διαφορετικών μικροκαταστάσεων, διαφορετικών δηλαδή τρόπων με τους οποίους τα σωματίδια του συστήματος συνεργαζόμενα επιτυγχάνουν τη συγκεκριμένη μακροκατάσταση.

Ο Αυστριακός φυσικός Ludwig Boltzmann, σε μια εργασία του το 1877, συνέδεσε την εντροπία S ενός μακροσκοπικού συστήματος με τον λογάριθμο του αριθμού των μικροκαταστάσεών του Ω, και κατέληξε στην περίφημη εξίσωση S=klogΩ, όπου k είναι η σταθερά του Boltzmann. Από τις μελέτες των Boltzmann και Gibbs αποκαλύφθηκε η στατιστική σημασία της εντροπίας και έγινε σαφές ότι αυτή περιγράφει την εσωτερική αταξία ενός συστήματος η οποία σχετίζεται και με το ποσό της πληροφορίας που μπορεί να αποθηκευτεί σε ένα μακροσκοπικό σύστημα.

Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, ή νόμο αύξησης της εντροπίας, κατά τις μεταβολές ενός απομονωμένου συστήματος, η εντροπία του είτε αυξάνεται είτε παραμένει σταθερή με τον χρόνο. Ο νόμος αυτός έχει μεγάλη ισχύ. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μέσα σε ένα δωμάτιο υπάρχει αέρας και μερικές τσαλακωμένες εφημερίδες. Ο αέρας μαζί με τις εφημερίδες (το χαρτί) περιέχουν λιγότερη εντροπία από εκείνη που θα υπήρχε στο δωμάτιο εάν εκδηλωνόταν πυρκαγιά και καίγονταν οι εφημερίδες.

Αυτό εξηγεί το γιατί το χαρτί εάν αναφλεγεί καίγεται, ενώ αντίθετα δεν μπορούμε να αντιστρέψουμε τη διαδικασία, λαμβάνοντας τα προϊόντα της καύσης, διοξείδιο του άνθρακα, τέφρα και υδρατμούς εν προκειμένου, και να παράγουμε χαρτί. Κατά την καύση η εντροπία αυξάνεται ενώ κατά την αντίστροφη διαδικασία ελαττώνεται. Ετσι, σύμφωνα με τον νόμο αύξησης της εντροπίας η καύση πραγματοποιείται ενώ η αντίστροφη διαδικασία όχι.

Ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος ορίζει επίσης αυτό που αναφέρεται ως «βέλος του χρόνου». Η φορά του χρόνου είναι η φορά αύξησης της εντροπίας ενός απομονωμένου συστήματος. Στο απόλυτο μηδέν (-273 C) η εντροπία ενός συστήματος μηδενίζεται, επιτυγχάνουμε δηλαδή την απόλυτη τάξη (ή μηδενική αταξία) αλλά όπως υπαγορεύει ο τρίτος νόμος της θερμοδυναμικής, είναι αδύνατο να επιτύχουμε θερμοκρασία απολύτου μηδενός. Μπορούμε όμως να τη προσεγγίσουμε ασυμπτωτικά.

Το κενό και οι διακυμάνσεις του

Εάν από μια περιοχή του χώρου αφαιρέσουμε όλη την ύλη και την ενέργεια, δημιουργούμε αυτό που ονομάζουμε «κενό». Σύμφωνα με τους νόμους της κλασικής φυσικής, το κενό είναι μια «άδεια περιοχή» όπου δεν υπάρχει τίποτα αλλά και δεν συμβαίνει τίποτα με την πάροδο του χρόνου.

Στην κβαντική φυσική όμως τα πράγματα αλλάζουν. Το κβαντικό κενό, η μηδενική κατάσταση όπως λέγεται, είναι γεμάτο από δυνητικά ζεύγη (virtual pairs) σωματιδίων-αντισωματιδίων τα οποία αποχωρίζονται μεταξύ τους (δημιουργούνται) σε ένα σημείο του χωροχρόνου και επανασυνδέονται (εξαϋλώνονται) σε ένα άλλο σημείο, ενώ ο χρόνος ζωής τους είναι εξαιρετικά μικρός.

Οι διακυμάνσεις του κενού αποτελούν για τα ηλεκτρομαγνητικά και τα βαρυτικά πεδία ό,τι οι «άτακτες κινήσεις» για τα ηλεκτρόνια. Εάν περιορίσουμε ένα ηλεκτρόνιο σε μια μικρή περιοχή του χώρου, τότε είναι αδύνατο να το ακινητοποιήσουμε. Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg καθώς προσπαθούμε να περιορίσουμε το ηλεκτρόνιο σε όλο και μικρότερη περιοχή του χώρου, η κίνησή του γίνεται όλο και πιο άτακτη και απρόβλεπτη.

Κατά τρόπο ανάλογο είναι αδύνατο να εξαλείψουμε όλες τις ηλεκτρομαγνητικές ή βαρυτικές διακυμάνσεις από μια περιοχή του χώρου. Οι διακυμάνσεις αυτές δεν εξαφανίζονται εάν αφαιρέσουμε την ενέργειά τους διότι κατά μέσο όρο δεν περιέχουν ενέργεια. Σε κάποια σημεία, κάποιες χρονικές στιγμές, οι συγκεκριμένες διακυμάνσεις έχουν θετική ενέργεια την οποία δανείστηκαν από κάποια άλλα σημεία τα οποία έτσι καταλήγουν να έχουν αρνητική ενέργεια.

Η απροσδιοριστία του Heisenberg αναγκάζει τις περιοχές αρνητικής ενέργειας να απορροφήσουν γρήγορα ενέργεια από γειτονικές περιοχές θετικής ενέργειας, επαναφέροντας το ενεργειακό ισοζύγιό τους στο μηδέν. Αυτή η τυχαία και συνεχής διαδικασία «δανεισμού» και «επιστροφής» ενέργειας αποτελεί τον μηχανισμό που δημιουργεί τις κβαντικές διακυμάνσεις της μηδενικής κατάστασης.

Όπως η άτακτη κίνηση του ηλεκτρονίου γίνεται εντονότερη όταν προσπαθούμε να το περιορίσουμε σε όλο και μικρότερο χώρο, έτσι και οι διακυμάνσεις του κενού των ηλεκτρομαγνητικών και βαρυτικών πεδίων γίνονται εντονότερες όταν μελετάμε μικρές περιοχές του χώρου. Αξίζει επίσης να αναφερθεί ότι οι ηλεκτρομαγνητικές διακυμάνσεις του κενού έχουν παρατηρηθεί πειραματικά, αντίθετα με ό,τι συμβαίνει με τις βαρυτικές διακυμάνσεις οι οποίες δεν έχουν ακόμα παρατηρηθεί στο εργαστήριο.